Açısal momentum

0
14

Açısal momentum Nedir ?

Fizikte, bazı referans noktaları etrafında dönen bir nesnenin açısal momentumu , harici bir tork tarafından etkilenmedikçe nesnenin o nokta etrafında dönmeye devam edeceği ölçüsüdür. Özellikle eğer bir nokta kütlesi bir eksen etrafında dönerse, eksende bir noktaya göre açısal momentum nesnenin kütlesi , hızı ve eksenden uzaklığı ile ilgilidir.

Açısal momentum kavramı, fizikte önemlidir, çünkü korunan bir niceliktir: bir sistemin açısal momentumu, harici bir tork etki etmediği sürece sabit kalır. Tork, açısal momentumun sistem içine veya dışına aktarıldığı hızdır. Bir katı cisim döndüğünde, dönme hareketindeki bir değişime direnci atalet momenti ile ölçülür.

Açısal momentumun korunumu, insan faaliyetleri ve doğadaki pek çok olguyu açıklar. Örneğin, bir buz patencisinin kollarını vücuduna çekerken daha hızlı döndüğünü ve kollarını dışarıya doğru uzatırken daha yavaş döndüğünü açıklıyor. Ayrıca, beyaz bir cüce gibi kompakt bir yıldızın neden çok hızlı döndüğünü, oluştuğu büyük yıldızın çok daha yavaş döndüğünü açıklıyor.

 

Nesnenin açısal momentumunun bilgisi, mühendislikte de önemli uygulamaları vardır. Örneğin, volan gibi dönen bir nesnede depolanan kinetik enerji , açısal momentumun karesiyle orantılıdır.

Klasik mekaniğin açısal momentumu

Dönen bir sistemde kuvvet (F), tork (τ) ve momentum vektörleri (p ve L) arasındaki ilişki.

Temel denklem

Bir nesnenin veya parçacığın bazı menşeli (referans noktası) etrafında dönen açısal momentumu aşağıdaki matematik denklemiyle tanımlanır:

\ Mathbf {L} = \ mathbf {R} \ kez \ mathbf {s}

nerede:

\ Mathbf {L} Nesnenin veya parçacığın açısal momentumu,
\ Mathbf {R} Nesnenin veya parçacığın kökenden bir yer değiştirme vektörü olarak ifade edilen konumu,
\ Mathbf {s} nesnenin veya parçacığın doğrusal momentumudur ve
\zamanlar\, vektör çapraz çarpımıdır.

Açısal momentum için türetilmiş SI birimleri, newton • metre • saniye veya N • m • s (kgm 2 s -1 ) ‘dir.

Çarprazdan dolayı L , radyal vektör r ve momentum vektörü p’ye dik olan bir vektördür.

Bir sistem, aynı orijin etrafında hareket eden birkaç parçacıktan oluşuyorsa, toplam açısal momentum, oluşturan parçacıkların tüm açısal momentlerini ekleyerek elde edilebilir. Açısal momentum, deplasman r kare, parçacığın kütlesi ve açısal hız çarpılarak hesaplanabilir.

Parçacık grubunun açısal momentumu

Kütle merkezi etrafında parçacıklar topluluğunun açısal momentumunu göz önüne almak genellikle uygundur, çünkü bu matemi önemli ölçüde basitleştirir. Parçacıklar topluluğunun açısal momentumu, her parçacığın açısal momentumunun toplamıdır:

\ mathbf {L} = \ sum_i \ mathbf {R} _i \ times m_i \ mathbf {V} _i

nerede Ri partikül i’nin referans noktasından uzaklığı, mi onun kütlesi ve v_i hızıdır. Kütle merkezi şu şekilde tanımlanır:

\ mathbf {R} = \ frac {1} {M} \ sum_i m_i \ mathbf {R} _i

nerede M tüm parçacıkların toplam kütlesi.

Tanımlarsak \ Mathbf {R} _I parçacık i’nin kitle merkezinden uzaklaşması ve \ Mathbf {v} _I kütle merkezine göre partikülün hızı olarak, o halde biz

\ Mathbf {R} _I = \ mathbf {R} + \ mathbf {R} _I \ ve \ Mathbf {V} _I = \ mathbf {V} + \ mathbf {v} _I \

Bu durumda toplam açısal momentum:

\ mathbf {L} = \ sum_i (\ mathbf {R} + \ mathbf {r} _i) \ times m_i (\ mathbf {V} + \ mathbf {v} _i) = \ left \ mathbf {R} \ times M \ mathbf {V} \ right) + \ left (\ sum_i \ mathbf {r} _i \ times m_i \ mathbf {v} _i \ right)

Birinci terim sadece kütlenin merkezinin açısal momentumudur. Kütlenin merkezinde bulunan tek bir hız V hızında hareket eden bir parçacık M parçacığı olsaydı, aynı açısal momentum elde edilir. İkinci terim, parçacıkların kütle merkezi etrafında döndürülmesinin sonucu olan açısal momentumdur. Parçacıklar katı bir cisim oluşturursa, ikinci terim daha da basitleştirilebilir.

Sabit dönüş ekseni

Tek bir eksen etrafında dönme ile ilgili birçok uygulama için, açısal momentumun psödovektör doğasını atmak ve skalar bir miktar gibi davranmak yeterlidir. Saatin tersi yönünde dönüşler için pozitif bir değer, saat yönünde dönmeler için negatif bir değer verilir. Bunu yapmak için çapraz çarpımın tanımını alır ve birim vektörünü atar, böylece açısal momentum olur:

L = | \ mathbf {r} || \ mathbf {p} | \ sin \ theta_ {r, p}

burada θ r, p , r ile p arasında ölçülen r ile p arasındaki açıdır. (Bu ayrımı yapmak gerek, çünkü bu olmadan, çarpraz çarpım işareti anlamsız olurdu.) Yukarıdakilerden, tanımın şu ifadelerden birine yeniden biçimlendirilmesi mümkündür:

L = \ pm | \ mathbf {p} || \ mathbf {r} _ {\ perp} |

burada r  , p’ye dik kol kolu mesafesi olarak adlandırılır.

Sabit bir simetri ekseni etrafında dönen sabit bir kütleye sahip bir nesne için açısal momentum, nesnenin atalet momentinin çarpımı ve açısal hız vektörü olarak ifade edilir:

\ mathbf {L} = Ben \ mathbf {\ omega}

nerede

BEN\, nesnenin atalet momenti
\ Mathbf {\ omega} açısal hızdır.

Açısal momentumun korunumu

İki karşılık gelen kuvvet F g ve -F g’ninneden olduğu tork, bu tork yönünde açısal momentum L’ de bir değişikliğe neden olur (tork, açısal momentumun türevidir). Bu üst kısmın dik durmasına neden olur.

Kapalı bir sistemde açısal momentum sabittir. Bu koruma yasası, uzayın “sürekli yönlü simetri” denilen şeyden matematiksel olarak izlenir; başka bir yönden uzaydan hiçbir yön farklı değildir.

Açısal momentumun zaman içindeki değişimi tork olarak adlandırılır. Matematiksel olarak, açısal momentumun zaman türevi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir:

\ tau = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t} = \ mathbf {r} \ times \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}

Açısal momentum sabit (kapalı bir sistem için) olduğunda, matematiksel ifade, sistem üzerinde harici torkun sıfır olduğunu gösteren matematik denklemine eşdeğerdir. Bu eşdeğerlik şu şekilde yazılabilir:

\ mathbf {L} _ {\ mathrm {sistem}} = \ mathrm {sabit} \ leftrightarrow \ sum \ tau_ {\ mathrm {ext}} = 0

nerede \ Tau_ {dahili} parçacık sistemine uygulanan herhangi bir torktur.

Gezegensel yörünge açısal momentumu

Yörüngedeki bir gezegen için, açısal momentum, gezegenin dönüşü ve yörüngesinin açısal momentumu arasında dağıtılır:

\ mathbf {L} _ {\ mathrm {total}} = \ mathbf {L} _ {\ mathrm {spin}} + \ mathbf {L} _ {\ mathrm {orbit}} ;

Bir gezegen beklenenden daha yavaş döndüğünde, gökbilimciler, gezegende bir uydu eşliğinde bulunduğundan şüphelenirler, çünkü toplam açısal momentum korunması için gezegen ve uydu arasında paylaşılır.

ısal momentumun korunumu, merkezi kuvvet hareketi denkleminin analizinde yaygın olarak kullanılır. Bazı cisim üzerindeki net kuvvet her zaman sabit bir noktaya, yani merkeze yönlendirilirse, merkeze göre cisim üzerinde herhangi bir tork yoktur ve cismin merkez etrafındaki açısal momentumu sabittir. Sabit açısal momentum, gezegenlerin ve uyduların yörüngeleriyle uğraşırken son derece yararlıdır. Bu kavram, atomun Bohr modeli için de kullanılmıştır.

Açısal momentumun korunması bir buz patencisinin açılı ivmesini açıklar; çünkü kolları ve bacaklar dikey dönüş eksenine (veya vücuduna yakın) yaklaşır. Vücut kütlelerinin bir kısmını eksene yakınlaştırarak vücudunun atalet momentini düşürür. Dış torkların yokluğunda açısal momentum sabit olduğu için, patencinin açısal hızı (dönüş hızı) artmalıdır.

Aynı fenomen, kompakt yıldızların ( beyaz cüceler ve nötron yıldızları gibi ) ve karadeliklerin, daha büyük ve yavaş dönen yıldızlardan oluştuğu zaman çok hızlı dönüşünü açıklıyor. (Bir nesnenin boyutunun 10 4 kez azaltılması, açısal hızının 10 8 oranında artmasına neden olur).

Kuantum mekaniğinde açısal momentum

Alt atomik parçacıkların davranışını açıklamak için, kuantum mekaniği teorisi, bir parçacığın açısal momentumunun “nicelendirildiğini” gösterir. Başka bir deyişle, atom altı parçacıkların açısal momentumu sürekli olarak değişmez, ancak belirli izin verilen değerler arasındaki “kuantum sıçramalarında” değişir. Bir atom altı parçacık uzayda hareket ettiğinde, bu hareketten kaynaklanan açısal momentum daima bir sabitin tam sayıdaki katıdır. \ hbar ( “H-çubuğu”).

Deneyler, atom altı parçacıkların çoğunun, alan boyunca hareketi nedeniyle değil, daimi, yerleşik bir açısal momentum olduğunu göstermektedir. Bu “dönüş” açısal momentumu, \ HBar / 2 . Örneğin, bir elektronun spin açısal momentumu \ HBar / 2 .

Temel tanım

Yukarıda belirtildiği gibi, açısal momentumun klasik tanımı şu şekilde yazılabilir:

\ Mathbf {L} = \ mathbf {R} \ kez \ mathbf {s}

Açısal momentumun değeri altı sayıya bağlıdır: r_x , r_y , r_z , p_x , p_y , ve p_z .

Atom altı ölçeğindeki parçacıklarla uğraşırken, Heisenberg belirsizlik ilkesi , bu sayıların altısının keyfi hassasiyetle eşzamanlı olarak ölçülmesinin mümkün olmadığını söyler. Bu nedenle, bir parçacığın açısal momentumu hakkında bilinen veya ölçülebilen şeylerin sınırları vardır. Birinin yapabileceği en iyi şey, açısal momentum vektörünün büyüklüğünü ve bileşenini bir eksen boyunca aynı anda ölçmektir.

Matematiksel olarak, kuantum mekaniğinde açısal momentum, momentum değil, bir miktar olarak değil dalga fonksiyonundaki bir operatör olarak tanımlanır:

\ Mathbf {L} = \ mathbf {R} \ kez \ mathbf {s}

burada r ve p sırasıyla konum ve momentum operatörleridır. Özellikle, elektrik yükü olmayan ve spinsiz tek bir parçacık için, açısal momentum operatörü pozisyon bazında

\ Mathbf {L} = - i \ HBar (\ mathbf {R} \ kez \ Nabla)

nerede \ nabla gradient operatörü “del”, “grad” veya “nabla” olarak okunur. Bu, açısal momentum operatörünün yaygın olarak karşılaşılan bir şekli olmasına rağmen, en genel olanıdır.

Yorum Yap

Please enter your comment!
Please enter your name here